KANGUR 2012 KADET - rozwiązywanie zadań (cz.3)

Dziś zajmę się niełatwymi zadaniami z Konkursu Matematycznego "Kangur" z roku 2012, na poziomie KADET (klasa I i II gimnazjum), w którym brałam udział. Rozwiążę 10 ostatnich zadań za 5 punktów.

Zadanie 21:
Niektóre liczby trzycyfrowe mają następujące dwie własności:

• po usunięciu pierwszej cyfry otrzymujemy liczbę dwucyfrową będącą kwadratem liczby naturalnej,
• po usunięciu ostatniej cyfry otrzymujemy liczbę dwucyfrową będącą kwadratem liczby naturalnej.

Ile wynosi suma wszystkich takich liczb trzycyfrowych?

A) 1013
B) 1177
C) 1465
D) 1993
E) 2016
rozwiązanie:
4^2=16
5^2=25
6^2=36
7^2=49
8^2=64
9^2=81

164+364+649+816=1993  --> odp.D

Zadanie 22:

Paweł chce ustawić dwanaście liczb od 1 do 12 na okręgu w taki sposób, aby sąsiednie liczby zawsze różniły się o 2 lub o 3. Które z podanych liczb muszą ze sobą sąsiadować?
A) 5 i 8
B) 3 i 5
C) 7 i 9
D) 6 i 8
E) 4 i 6
rozwiązanie:

  --> odp.D












Zadanie 23:
Wyznacz stosunek pola trójkąta MNC do pola kwadratu ABCD, gdzie M jest środkiem boku AD, punkt N leży na przekątnej AC, a odcinek MN jest prostopadły do AC.
A) 1:6
B) 1:5
C) 7:36
D) 3:16
E) 7:40
rozwiązanie:

a=2
x√2=a/2
x√2=1
x=1/√2*√2/√2=√2/2
y=2√2-√2/2
Pkwadratu=4
Ptrójkąta=(2√2-√2/2)*1/2*√2/2=(2√2-√2/2)*√2/4=1-1/4=3/4=0,75
075/4=3/16 --> odp.D

Zadanie 24:
Tango tańczy się w parach - kobieta z mężczyzną. Na wieczorku tanecznym było nie więcej niż 50 osób. W pewnym momencie okazało się, że 3/4 mężczyzn tańczy tango z 4/5 kobiet. Ile osób wtedy tańczyło na sali?
A) 20
B) 24
C) 30
D) 32
E) 46
rozwiązanie:
A) m,k=10
    7,5m=8k (źle)
B) m,k=12
    9m= --> odp.B

Zadanie 25:
Wyspa Kangurów jest podzielona na 6 państw ponumerowanych liczbami: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Dla n=1, 2, 3, 4, 5 państwo o numerze n graniczy dokładnie z n państwami. Z iloma państwami graniczy państwo o numerze 6?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
rozwiązanie:

--> odp.C

Zadanie 26:
Kasia toczy sześcienną kostkę po macie pokazanej obok, startując z pola o numerze 1. Za każdym razem obraca kostkę wokół jednej z krawędzi. Kostka przylegała do maty kolejno w miejscach oznaczonych numerami: 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7. W których z tych miejsc kostka przylegała do maty tą samą ścianą?
A) 1 i 7
B) 1 i 6
C) 1 i 5
D) 2 i 7
E) 2 i 6
rozwiązanie:

na 1 - 6
na 2 - 2
na 3 - 1
na 4 - 3
na 5 - 5
na 6 - 6
na 7 - 4 --> odp.B

Zadanie 27:
W książce jest 30 opowiadań. Każde z nich zajmuje inną liczbę stron, od 1 do 30. Każde opowiadanie zaczyna się na nowej stronie, przy czym pierwsze opowiadanie zaczyna się na pierwszej stronie. Jaka jest największa możliwa liczba opowiadań, które mogą zaczynać się na nieparzystej stronie?
A) 15
B) 18
C) 20
D) 22
E) 23
rozwiązanie:
nr opowiadania-na str-długość
1-1-1
2-2-3
3-5-2
4-7-4
5-11-5
6-16-7
7-23-6
8-29-8
9-37-9
10-46-11
11-57-10
12-67-12
13-79-13
14-92-15
15-107-14
16-121-16
17-137-17
18-154-19
19-173-18
20-191-20
21-211-21
22-232-23
23-255-22
24-277-24
25-301-25
26-326-27
27-353-26
28-379-28
29-407-30
30-437-29 --> odp.E

Zadanie 28:
Linę złożono na pół, potem znowu na pół, i jeszcze raz na pół. Następnie przecięto w jednym miejscu całą złożoną linę. Pewne dwa z otrzymanych kawałków są długości 9 i 4 metrów. Długość całej liny
A) nie może być równa 52 m
B) nie może być równa 68 m
C) nie może być równa 72 m
D) nie może być równa 88m
E) może być równa każdej z długości: 52m, 68m, 72m, 88m.
rozwiązanie:
2*9+3*18+4*4=88m
lub
2*4+3*8+4*9=68m
lub
3*4+2*2+4*9=52m
3*9+2*4,5+4*4=52m --> odp.C

Zadanie 29:
Trójkąt ABC o obwodzie 19cm jest podzielony trzema odcinkami na cztery szare trójkąty i trzy białe czworokąty w sposób przedstawiony na rysunku. Suma obwodów czterech szarych trójkątów jest równa 20 cm, a suma obwodów trzech białych czworokątów jest równa 25cm. Ile jest równa suma długości trzech odcinków dzielących w ten sposób trójkąt ABC?
A) 26cm
B) 12cm
C) 13cm
D) 15cm
E) 16cm
rozwiązanie:
obw=19
obw4tr=20
obw3cz=25
a+b+c+x+y=z=20
19-x-y-z+a+b+c=25
a+b+c=20-x-y-z
a+b+c=6+x+y+z
2(a+b+c)=26
a+b+c=13 --> odp.C

Zadanie 30:
Kwadrat 3x3 podzielono na kwadraty jednostkowe. W każdym z nich wpisano liczbę dodatnią w taki sposób, że iloczyn liczb w każdym wierszu i w każdej kolumnie jest równy 1, a w każdym kwadracie 2x2 iloczyn liczb jest równy 2. Jaką liczbę wpisano w zacieniowanym kwadracie?
A) 4
B) 1/4
C) 8
D) 1/8
E) 16
rozwiązanie:
  --> odp.E

Niektóre zadania najłatwiej rozwiązuje mi się rysunkami. Jeżeli znasz inne, matematyczne sposoby na rozwiązanie tych zadań to, proszę, napisz je w komentarzu lub na e-mail ;)
Pozdrawiam, Olss