KANGUR 2012 STUDENT - rozwiązywanie zadań (cz.1)

Witam!
Dziś rozwiążę zadania po 3 punkty z Konkursu Matematycznego Kangur 2012 na poziomie Student (klasa II i III liceum oraz II, III   i IV technikum). Jeżeli macie jakieś pytania dotyczące moich rozwiązań lub czegoś nie rozumiecie to napiszcie na mojego e-maila, bądź w komentarzu.
Pozdrawiam, Olss


Zadanie 1:
Iloma zerami kończy się liczba 2^12*3^13*5^15*7^17?
A) 12
B) 13
C) 15
D) 27
E) Ani jednym
rozwiązanie:
aby liczba miała 0 na końcu musi być podzielna przez 10, czyli 2*5
2 - ...2/...4/...8/...6 ---> 12 liczb podzielnych przez 2
3 - ...3/...9/...7/...1 ---> brak
5 - ...5 ---> 15 liczb podzielnych przez 5
7 - ...7/...9/...3/...1 --> odp.A

Zadanie 2:
Liczba pierwiastek 3. stopnia z liczby 2 pierwiastki 2. stopnia z 2 jest równa
A) 1
B) pierwiastek z 2
C) pierwiastek 6. stopnia z 4
D) pierwiastek 3. stopnia z 4
E) 2
rozwiązanie:
 --> odp.B

Zadanie 3:
W pewnym trójkącie prostokątnym największy kąt jest 3 razy większy od kąta najmniejszego. Ile stopni ma najmniejszy kąt w tym trójkącie?
A) 22,5
B) 30
C) 45
D) 60
E) 90
rozwiązanie:
kąt prosty musi być największy, więc
90 st. = 3A
A = 30 st.
--> odp.B

Zadanie 4:
Prostokątny kawałek papieru ABCD o wymiarach 4cm x 16cm został zagięty, tak że wierzchołek C pokrył się z wierzchołkiem A (rysunek obok). Jakie pole ma czworokąt ANMD'?
A) 28cm^2
B) 30cm^2
C) 32cm^2
D) 36cm^2
E) 48cm^2
rozwiązanie:

 4^2+b^2=(16-b)^2
16+b^2=256-32b+b^2
32b=240
b=7,5
4^2+d^2=(16-d)^2
d=7,5
|AN|=16-7,5=8,5
|AM|=16,7,5=8,5
P=|AM|*h/2+d*h/2=8,5*4/2+7,5*4/2=17+15=
=32cm^2 --> odp.C

Zadanie 5:
Suma cyfr pewnej liczby 9-cyfrowej jest równa 8. Ile jest równy iloczyn cyfr tej liczby?
A) 0
B) 1
C) 8
D) 9
E) 9!
rozwiązanie:
chociaż jedna cyfra musi być zerem, bo np.  8=8*1 + 0, więc jakieś cyfry*0 = 0 --> odp.A

Zadanie 6:
Największą liczbą naturalną n spełniającą nierówność n^200<5^300 jest
A) 5.
B) 6.
C) 8.
D) 11.
E) 12.
rozwiązanie:
5.) 5^200<5^300 (OK)
6.) 6^200<5^200*5^100
(6/5)^200<5^100
(6/5)^100<(5/6/5)^100
(6/5)^100<(25/6)^100
(36/30)^100<(125/30)^100 (OK)
8.) 8^200<5^200*5^100
(8/5)^100<(5/8/5)^100
(64/40)^100<(125/40)^100 (OK)
11.) 11^200<5^200*5^100
(11/5)^100<(5/11/5)^100
(121/55)^100<(125/55)^100 (OK)
12.) 12^200<5^200*5^100
(12/5)^100<(5/12/5)^100
(144/60)^100<(125/60)^100 (ŹLE) --> odp.D

Zadanie 7:
Dla której z następujących funkcji prawdziwa jest tożsamość: f(1/x)=1/f(x)?
A) f(x)=2/x
B) f(x)=1/x+1
C) f(x)=1+1/x
D) f(x)=1/x
E) f(x)=x+1/x
rozwiązanie:
  --> odp.D

Zadanie 8:
Liczba rzeczywista x spełnia nierówności x^3<64<x^2. Które z następujących zdań jest prawdziwe?
A) 0<x<64
B) -8<x<4
C) x>8
D) -4<x<8
E) x<-8
rozwiązanie:
8*8=64 - x musi być liczbą większą niż 8, ale na minusie, aby spełniać pierwszą nierówność, więc x musi być mniejszy niż -8 --> odp.E


Zadanie 9:
Rysunek obok przedstawia 5-ramienną gwiazdę pitagorejską (wierzchołki pięciu ramion tej gwiazdy wyznaczają pięciokąt foremny). Jaka jest miara kąta alfa?
A) 24 stopnie
B) 30 stopni
C) 36 stopni
D) 45 stopni
E) 72 stopnie
rozwiązanie:

180 st. * (n-2) --> n-liczba kątów
180 st. * (5-2)=180*3=540 --> suma kątów wewnętrznych w pięciokącie foremnym
540/5=108 st. --> miara kąta 180st-B
B=180-108=72
Alfa=180-2*72=36 st. --> odp.C





Zadanie 10:
Mój wiek wyraża się liczbą dwucyfrową, która jest potęgą o wykładniku naturalnym liczby 5. Wiek mojego kuzyna wyraża się liczbą dwucyfrową, która jest potęgą o wykładniku naturalnym liczby 2. Łączna suma cyfr dwóch liczb wyrażających mój wiek i wiek mojego kuzyna jest nieparzysta. Ile jest równy iloczyn wszystkich cyfr obu tych liczb?
A) 240
B) 2010
C) 60
D) 50
E) 300
rozwiązanie:
5^2=25 - mój wiek
2^x=? - wiek mojego kuzyna (x>3) - _ _
2+5+ _ + _ = nieparzysta
2*5*_*_=10*_*_=?
1.) x=4, 2^4=16 1+6+2+5=14 (ŹLE)
2.) x=5, 2^5=32 3+2+2+5=12 (ŹLE)
3.) x=6, 2^6=64 6+4+2+7=19 (OK), a więc
2*5*6*4=240 --> odp.A